Задача 1.
Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-1; 2); B(2; 4); C(8; -6). Найти:
а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ и её длину;
в) уравнение медианы AЕ и её длину;
г) орт вектора и его проекцию на , ; ;
д) площадь треугольника АВС и его периметр .
Задача 2.
Даны координаты четырех точек М1(1; 2; -3); М2(1; 0; 1); М3(-2; -1; 6); М4(3; -2; -9).
Найти:
а) уравнение плоскости , проходящей через точку М1, перпендикулярную вектору ;
б) уравнение плоскости , проходящей через три точки М2, М3, М4;
в) направляющий вектор прямой , по которой пересекаются плоскости и ОХY;
г) уравнение прямой , проходящей через точки М1 и М2;
д) угол между плоскостями и ;
е) угол между прямыми и ;
ж) угол между плоскостью и прямой ;
з) объем пирамиды с вершинами в точках М1; М2; М3; М4 , площадь грани М2М3М4 , длину ребра М1М2, длину высоты h, опущенной из вершины М1 на грань М2М3М4, ( ).
Задача 3.
Решить системы линейных алгебраических уравнений:
а) методом Гаусса: ;
б) методом Крамера и матричным способом: .
Задача 4.
Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и с фокусом . Сделать чертеж.
Задача 5.
Вычислить пределы указанных функций (не используя правило Лопиталя).
а) ;б)
Задача 6.
Найти производные и дифференциалы указанных функций.
а) ;б)
Задача 7.
Найти производную второго порядка .
Задача 8.
Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .
Задача 9.
Вычислить приближенно с помощью дифференциала .
Задача 10.
Построить графики указанных функций с полным исследование по схеме.
а) ;б)
Задача 11.
Решить квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Проверить справедливость формул Виета.